Есть 100 лампочек. Сначала их все зажгли. Потом у каждой второй
поменяли состояние. Потом поменяли состояние у каждой третьей. И так
далее, пока наконец не поменяли состояние у сотой. Вопрос - сколько
лампочек останется гореть?
Ответ:
Гореть будут те лампочки, которые переключили
четное число раз. Это будут лампочки, номера которых являются
квадратами. То есть 1, 4, 9, 16,...100. Всего 10 лампочек.
Лампочки на елке
Новогодняя
ёлка была украшена гирляндой электрических лампочек, соединенных
последовательно. Одна лампочка перегорела. Её выбросили и составили
снова цепь. Стала ли гирлянда гореть ярче или наоборот, померкла оттого,
что лампочек стало меньше?
Ответ:
: U=J*R. Общее сопротивление гирлянды уменьшилось, а напряжение в сети осталось прежним. Поэтому гирлянда будет гореть ярче.
100 заключённых и одна лампочка
В тюрьме в одиночных камерах содержится 100 заключённых. Есть также
одна центральная комната с лампочкой. В начале задачи эта лампочка
выключена. Горит она или нет – из камер не видно. Каждый день охрана
случайно выбирает одного заключённого, и он может зайти в эту комнату и
включить или выключить лампочку, если он хочет. Также у него есть право
сделать заявление о том, что все 100 заключённых побывали в этой
комнате. Если его утверждение истинно, всех заключённых выпускают и
принимают в общество гениальных людей MENSA. Если утверждение ложно, то
следующим же утром всех расстреливают. Поэтому такое заявление следует
делать только при 100% уверенности. Перед началом "эксперимента"
заключённые могут собраться и выработать план. В дальнейшем все контакты
между ними исключены.
Возможен ли такой план действий, что в конце концов кто-то из заключённых может сделать правильное утверждение?
Ответ:
Узники выбирают одного определённого человека (будем называть его
“счётчиком”), который будет считать узников по такой системе: если,
приходя в комнату, он обнаруживает, что свет включён, то он прибавляет к
уже посчитанному числу узников единицу и выключает свет, если же свет
не горит, то он, ничего не меняя, возвращается обратно в свою камеру.
Каждый из оставшихся узников действует по такому правилу: если, приходя в
комнату, он обнаруживает, что свет не горит, и он до этого ни разу не
включал свет, то он его включает. В остальных случаях он ничего не
меняет. Когда число посчитанных узников становится равным 99, “счётчик”
говорит, что все узники уже побывали в комнате.
Действительно, каждый узник, кроме “счётчика”, включит свет в комнате
не более одного раза. Когда “счётчик” насчитает 99, он может быть
уверен, что все остальные узники уже побывали в комнате хотя бы раз,
кроме того он сам уже побывал в комнате. Получается, что к этому моменту
все узники заведомо побывали в комнате хоть раз.
Остаётся доказать, что каждый из 99 узников включит свет.
Предположим, что это не так – свет будет включён менее 99 раз. Тогда,
начиная с некоторого дня n, свет включаться не будет. Так как никакой
заход в комнату не будет для счётчика последним, он побывает в комнате
после этого дня (например, на m-й день, m>n). Если свет при этом
горел, он его выключит. Значит, начиная с (m+1)-го дня свет будет всё
время выключен. Рассмотрим узника, который свет ещё ни разу не зажигал.
Так как и для него никакой заход в комнату не последний, он побывает в
комнате после m-го дня. Но тогда он должен включить свет – противоречие.
Головоломка
Можно ли в поезде, состоящем из N замкнутых
в кольцо вагонов, определить число N, если разрешается только ходить по
вагонам и включать и выключать свет; исходно в каждом вагоне свет либо
включён, либо выключен.
Определить число N можно разными способами, приведём два решения.
Решение первое. Зайдём в любой вагон — будем считать его
первым — и, если там горит свет, выключим его. Теперь перейдём в
соседний вагон слева — во второй, включим в нём свет (или оставим
включённым) и вернёмся в первый, чтобы удостовериться, что света
по-прежнему там нет. Опять идём влево, в третьем вагоне включим свет,
снова вернёмся для проверки в первый и т. д. В какой-то момент,
вернувшись в первый вагон, обнаружим, что в нём свет горит. Значит, круг
замкнулся: последний вагон, в котором мы включили свет, и есть первый,
он же — (N+1) по счёту.
Подсчёт показывает, что число переходов из вагона в вагон в этом случае равно 2×(1+2+…+N)=2×N(N+1)/2=N(N+1).
Решение второе. Зайдём в любой вагон, на сей раз для удобства
будем считать его нулевым. В первом вагоне слева выключим свет, пройдём
через нулевой и в первом вагоне справа включим свет. Снова пойдём через
нулевой налево и выключим свет во втором левом вагоне. Затем отправимся
направо и включим свет во втором вагоне справа и т. д. Слева от
нулевого будут идти одни тёмные вагоны, справа — одни светлые. В
какой-то момент, дойдя до последнего вагона слева, где мы выключили
свет, обнаружим, что теперь в нём свет горит. Значит, при движении
вправо мы там его включили и два полукруга тёмных и светлых вагонов
сомкнулись. Определим, сколько сделано переходов.
Пусть N чётно. Влево будет пройдено 1+2+...+...N/2 вагонов, вправо —
столько же. Поскольку каждый раз мы возвращаемся в нулевой вагон, надо
умножить на 2. Соединение двух полукругов определится ещё через N/2
переходов. Значит, общее число переходов равно
4×(1+2+...+N/2)+N/2=4((1+N/2)N/2)/2+N/2=((2+N)N+N)/2=(N2+3N)/2=N(N+3)/2. При нечётных N вычисления немного отличаются, но формула совпадает с данной.
Первое решение логически проще, а второе алгоритмически вдвое
экономнее (за счёт того, что организовано встречное движение по вагонам)
— для определения числа N требуется порядка N2/2 переходов вместо N2
Загадки (часть1)
Детские загадки про лампочку (часть 2)
Загадки про лампочку (часть 3)
Игра-головоломка "Лампочки в электрической цепи"
загибаем концы
